\(\int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx\) [373]

Optimal result

Integrand size = 19, antiderivative size = 78 \[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\frac {\cos ^3(a+b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac {1}{2} (-2+n)} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2} (-2+n),\frac {1+n}{2},\frac {3+n}{2},\sin ^2(a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^{1+n}}{b d (1+n)} \]

[Out]

cos(b*x+a)^3*(cos(b*x+a)^2)^(-1+1/2*n)*hypergeom([-1+1/2*n, 1/2+1/2*n],[3/2+1/2*n],sin(b*x+a)^2)*(d*tan(b*x+a)
)^(1+n)/b/d/(1+n)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.04 (sec) , antiderivative size = 78, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 1, number of rules used = 1, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.053, Rules used = {2697} \[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\frac {\cos ^3(a+b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac {n-2}{2}} (d \tan (a+b x))^{n+1} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {n-2}{2},\frac {n+1}{2},\frac {n+3}{2},\sin ^2(a+b x)\right )}{b d (n+1)} \]

[In]

Int[Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^n,x]

[Out]

(Cos[a + b*x]^3*(Cos[a + b*x]^2)^((-2 + n)/2)*Hypergeometric2F1[(-2 + n)/2, (1 + n)/2, (3 + n)/2, Sin[a + b*x]
^2]*(d*Tan[a + b*x])^(1 + n))/(b*d*(1 + n))

Rule 2697

Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sec[e + f
*x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 1)*((Cos[e + f*x]^2)^((m + n + 1)/2)/(b*f*(n + 1)))*Hypergeometric2F1[(n + 1)/2,
(m + n + 1)/2, (n + 3)/2, Sin[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(n - 1)/2] &&  !In
tegerQ[m/2]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\cos ^3(a+b x) \cos ^2(a+b x)^{\frac {1}{2} (-2+n)} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2} (-2+n),\frac {1+n}{2},\frac {3+n}{2},\sin ^2(a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^{1+n}}{b d (1+n)} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.

Time = 4.85 (sec) , antiderivative size = 1313, normalized size of antiderivative = 16.83 \[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\frac {4 (3+n) \left (\operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,1,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-6 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,2,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,3,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-8 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,4,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )\right ) \cos ^3\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ) \cos ^3(a+b x) \sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ) (d \tan (a+b x))^n}{b (1+n) \left ((3+n) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,1,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) (1+\cos (a+b x))-2 \left (\operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,2,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,3,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+36 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,4,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-32 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,5,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,1,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+6 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,2,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-12 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,3,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+8 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,4,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )+18 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,2,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+6 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,2,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+8 (3+n) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,4,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-\operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,2,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+12 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,3,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-36 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,4,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+32 \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},n,5,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,1,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-6 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,2,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)+12 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,3,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-8 n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {3+n}{2},1+n,4,\frac {5+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) \cos (a+b x)-6 (3+n) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1+n}{2},n,3,\frac {3+n}{2},\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right ),-\tan ^2\left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right ) (1+\cos (a+b x))\right )\right )} \]

[In]

Integrate[Cos[a + b*x]^3*(d*Tan[a + b*x])^n,x]

[Out]

(4*(3 + n)*(AppellF1[(1 + n)/2, n, 1, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 6*AppellF1[(1 + n)
/2, n, 2, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 12*AppellF1[(1 + n)/2, n, 3, (3 + n)/2, Tan[(a
+ b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 8*AppellF1[(1 + n)/2, n, 4, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)
/2]^2])*Cos[(a + b*x)/2]^3*Cos[a + b*x]^3*Sin[(a + b*x)/2]*(d*Tan[a + b*x])^n)/(b*(1 + n)*((3 + n)*AppellF1[(1
+ n)/2, n, 1, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*(1 + Cos[a + b*x]) - 2*(AppellF1[(3 + n)/2,
n, 2, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(3 + n)/2, n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a +
b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 36*AppellF1[(3 + n)/2, n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2
]^2] - 32*AppellF1[(3 + n)/2, n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - n*AppellF1[(3 + n)/2
, 1 + n, 1, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 6*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 2, (5 + n)/2,
Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] +
18*AppellF1[(1 + n)/2, n, 2, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 + 6*n*App
ellF1[(1 + n)/2, n, 2, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 + 8*(3 + n)*Appe
llF1[(1 + n)/2, n, 4, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[(a + b*x)/2]^2 - AppellF1[(3 + n
)/2, n, 2, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 12*AppellF1[(3 + n)/2, n, 3, (5
+ n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 36*AppellF1[(3 + n)/2, n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a
+ b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + 32*AppellF1[(3 + n)/2, n, 5, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] + n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 1, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b
*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 6*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 2, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]
*Cos[a + b*x] + 12*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 3, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a +
b*x] - 8*n*AppellF1[(3 + n)/2, 1 + n, 4, (5 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Cos[a + b*x] - 6
*(3 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, n, 3, (3 + n)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*(1 + Cos[a + b*x]))))

Maple [F]

\[\int \left (\cos ^{3}\left (b x +a \right )\right ) \left (d \tan \left (b x +a \right )\right )^{n}d x\]

[In]

int(cos(b*x+a)^3*(d*tan(b*x+a))^n,x)

[Out]

int(cos(b*x+a)^3*(d*tan(b*x+a))^n,x)

Fricas [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\int { \left (d \tan \left (b x + a\right )\right )^{n} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^3, x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)**3*(d*tan(b*x+a))**n,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\int { \left (d \tan \left (b x + a\right )\right )^{n} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^3, x)

Giac [F]

\[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\int { \left (d \tan \left (b x + a\right )\right )^{n} \cos \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*(d*tan(b*x+a))^n,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*tan(b*x + a))^n*cos(b*x + a)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \cos ^3(a+b x) (d \tan (a+b x))^n \, dx=\int {\cos \left (a+b\,x\right )}^3\,{\left (d\,\mathrm {tan}\left (a+b\,x\right )\right )}^n \,d x \]

[In]

int(cos(a + b*x)^3*(d*tan(a + b*x))^n,x)

[Out]

int(cos(a + b*x)^3*(d*tan(a + b*x))^n, x)